Tolong jawabin nomor 52, 53, 55, 56, 58 Pakai cara yang lengkap ya biar ngerti

52. Nilai puncak terendah = nilai minimum = 0
Artinya
ax² + 4x + a = 0
Titik puncak minimumnya (p,q) berarti q nya 0 karena titik y minimum sama dengan nilai minimum
Kemudian cari x minimum yaitu p
Utk mencari x minimum maka f'(x) = 0
2ax + 4 = 0
2ax = -4
ax = -2
a = -2/x
Masukkan ke pers. awal
ax² + 4x + a = 0
(-2/x)x² + 4x + (-2/x) = 0
-2x + 4x -2/x = 0
2x - 2/x = 0
2x² - 2 = 0
x² - 1 = 0
(x+1)(x-1) = 0
Ada 2 x yang memenuhi, yaitu x = -1 dan x = 1
Kemudian karena mencari titik minimum pada kurva parabola, berarti kita cari parabola yg terbuka ke atas, yaitu yang memiliki a > 0
Coba x = -1 masukkan ke pers. a
a = -2/x
a = -2/-1
a = 2, dapat a, berarti x yang memenuhi adalah x = -1
Sekarang kita samakan x dengan p
x = p = -1
3p + 4q = 3.(-1) + 4.0
= -3 (D)

53. 6x² - x - 2 kita faktorkan saja menjadi (3x-2)(2x+1) untuk mempermudah nanti
Sekarang kedua ruas kita kalikan dengan 6x² - x - 2
19x-8 = (3x-2)A + (2x+1)B
19x - 8 = 3Ax - 2A + 2Bx + B
19x - 8 = (3A+2B)x - (2A-B)
Setarakan koefisien yg sesuai
19 = 3A + 2B
8 = 2A - B

Eliminasi
19 = 3A+2B
16 = 4A-2B
Ditambah
35 = 7A
A = 5

Substitusi A ke salah satu persamaan utk mendapatkab b
8 = 2A-B
8 = 2(5) - B
B = 10 - 8
B = 2

Langsung saja
4A + 5B = 4(5) + 5(2)
= 20+10
= 30(E)

55. Gambarkan saja kendalanya
Pada gambar, terdapat tiga titik acuan minimum, yaitu;
(0,10) - titik A
(4,2) - titik B
(8,0 - titik C
Masukkan masing2 titik ke fungsi
Utk titik A
f(0,10) = c.0 + 6.10 = 60
Utk titik B
f(4,2) = c.4 + 6.2 = 4c + 12
Utk titik C
f(8,0) = c.8 + 6.0 = 8c

Sekarang kita ingin supaya B menjadi titik minimum, maka titik B tidak boleh kalah dengan titik A dan C, artinya titik A dan C tidak boleh lebih dari 0

Bandingkan titik A dgn titik B
B <= A
4c + 12 <= 60
4c <= 48
c <= 12

Bandingkan titik C dgn titik B
B <= C
4c + 12 <= 8c
4c >= 12
c >= 3

Satukan kedua syarat
Berarti 3 <= c <= 12 (B)

56. Jangkauan = data terbesar - data terkecil
Disitu data sudah terurut, artinya data terbesarnya 6x+2 dan data terkecilnya x-1
Range = 6x+2 - (x-1)
18 = 5x + 3
15 = 5x
x = 3

Dapat x tinggal dimasukkan ke masing-masing data
3-1 = 2
2.3 - 1 = 5
3.3 = 9
5.3 - 3 = 12
4.3 + 3 = 15
6.3 + 2 = 20

Jumlahkan dibagi banyak data maka didapat rata-rata
(2+5+9+12+15+20)/6 = 63/6 = 10,5 (A)

58. U1 + U3 = -5
a + ar² = -5
a(1+r²) = -5
a = -5/(1+r²)

U2 - U3 = 6
ar - ar² = 6
a(r-r²) = 6
-5/(1+r²).(r-r²) = 6
-5r + 5r² = 6 + 6r²
r² + 5r + 6 = 0
(r+3)(r+2) = 0
Ada dua kemungkinan
r = -3 atau r = -2

Masukkan masing2 r ke salah satu persamaan a utk mendapatkan a
a = -5/(1+r²)
a = -5/(1+(-3)²)
a = -1/2 utk r = -3

a = -5/(1+r²)
a = -5/(1+(-2)²)
a = -1 utk r = -2

Sekarang utk a = -1/2 dan r = -3
U4 + U6 = ar³ + ar^5
= -1/2.(-3)³ -1/2(-3)^5
= 27/2 + 243/2
= 270/2 = 135

Utk a = -1 dan r = -2
U4 + U6 = ar³ + ar^5
= -1(-2)³ -1(-2)^5
= 8 + 32 = 40

Jadi jawabannya 40 dan 135 (B)

52) nilai terendah = 0 maka titik puncak (p,q) = (p,0) => q = 0
f(x) = ax^2 + 4x + a => p = sumbu simetri => x = -b/(2a)
p = -4/(2a) = -2/a
Jadi titik puncak minimumnya = (-2/a, 0)
f(-2/a) = a(-2/a)^2 + 4(-2/a) + a = 0
=> 4/a - 8/a + a = 0
=> a = 4/a
=> a^2 = 4
=> a = ± 2 karena minimum a > 0 => a = 2
p = -2/a = -2/2 = -1
Jadi 3p + 4q = 3(-1) + 4(0) = -3 ...... (D)

53) A/(2x + 1) + B/(3x - 2)
= (A(3x - 2) + B(2x + 1)) / (2x + 1)(3x - 2)
= (3Ax - 2A + 2Bx + B) / (6x^2 - 4x + 3x - 2)
= ((3A + 2B)x - 2A + B) / (6x^2 - x - 2)
= (19x - 8) / (6x^2 - x - 2)
Jadi (3A + 2B)x - 2A + B = 19x - 8
3A + 2B = 19 |.2| 6A + 4B = 38
-2A + B = -8 |.1 | -2A + B = -8
------------------------------------------- +
............................... 4A + 5B = 30 ...... (E)

55) Rumus gradien : ax + by = c => m = -a/b
f(x,y) = cx + 6y => mf = -c/6
2x + y ≥ 10 => m1 = -2/1 = -2
x + 2y ≥ 8 => m2 => -1/2
Karena minimumnya di (4,2) => hasil eliminasi (titik potong kedua garis)
Maka berlaku : m1 ≤ mf ≤ m2
-2 ≤ -c/6 ≤ -1/2 =====> kali -6
12 ≥ c ≥ 3
3 ≤ c ≤ 12 ....(B)

56) jangkauan = data terbesar - data terkecil
=> (6x + 2) - (x - 1) = 18
=> 5x + 3 = 18
=> 5x = 15
=> x = 3
Rata-rata = ((x - 1) + (2x - 1) + (3x) + (5x - 3) + (4x + 3) + (6x + 2)) / 6
= 21x / 6
= 7x / 2
= 7(3) / 2
= 10,5 ..... (A)

58) U1 + U3 = -5
a + ar^2 = -5
a(1 + r^2) = -5
a = -5/(1 + r^2)

U2 - U3 = 6
ar - ar^2 = 6
a(r - r^2) = 6
-5/(1 + r^2) . (r - r^2) = 6
-5(r - r^2) = 6(1 + r^2)
-5r + 5r^2 = 6 + 6r^2
0 = r^2 + 5r + 6
(r + 2)(r + 3) = 0
r = -2 atau r = -3

U1 + U3 = a + ar^2 = -5

U4 + U6 = ar^3 + ar^5 = r^3 (a + ar^2) = r^3 (-5)
r = -2 => U4 + U6 = (-2)^3 (-5) = -8(-5) = 40
r = -3 => U4 + U6 = (-3)^3 (-5) = (-27)(-5) = 135 ....(C)