Buktikan bahwa: [tex]\displaystyle \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4[/tex] Kalau tidak terbaca kodenya, ini! ∛(20 + 14√2) + ∛(20 - 14√2) = 4

≡ Pembuktian:
⇔ Substitusi menjadi x dan y:
⇒ [tex]\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=x[/tex]
⇒ [tex]\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=y[/tex]

⇒ [tex]x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}[/tex]
⇒ [tex]x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)[/tex]

⇒ [tex]x^{3}+y^{3}=(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}})^{3}+(\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}})^{3}[/tex]
⇒ [tex]x^{3}+y^{3}=(20+14\sqrt{2})+(20-14\sqrt{2}) [/tex]
⇒ [tex]x^{3}+y^{3}=40[/tex]

⇒ [tex]3xy=(3).(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}).(\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}})[/tex]
⇒ [tex]3xy=[3].[\sqrt[3]{(20+14\sqrt{2})(20-14\sqrt{2})}][/tex]
⇒ [tex]3xy=[3].[\sqrt[3]{400-(14\sqrt{2})^{2}}][/tex]
⇒ [tex]3xy=[3].[\sqrt[3]{400-392}][/tex]
⇒ [tex]3xy=[3].[\sqrt[3]{8} ][/tex]
⇒ [tex]3xy=(3).(2)=6[/tex]

⇔ Substitusi (x + y) menjadi n:
⇒ [tex]x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)[/tex]
⇒ [tex]40=n^{3}-6n[/tex]
⇒ [tex]n^{3}-6n-40=0[/tex]
⇒ [tex]n^{3}-64-6n+24=0[/tex]
⇒ [tex](n-4)(n^{2}+n+16)-6(n-4)=0[/tex]
⇒ [tex](n-4)(n^{2}+n+12)=0[/tex]
⇒ [tex]\boxed{n_{1}=4}[/tex]
∴ Terbukti bahwa salah satu penyelesaiannya adalah 4